O objetivo do relatório 08 é ajustar um modelo de regressão quadrática entre o teor de substituição e a resistência à compressão de um concreto especial, em função do teor de adição pozolânica. Neste relatório verificaremos a significância os termos lineares e quadráticos, e também se a curva ajustada apresenta algum ponto de máximo. Avaliaremos também a qualidade do modelo adotado.
O concreto com adição pozolânica tem sido alvo de estudos devido às propriedades que esses aditivos conferem à matriz cimentícia. Entretanto, quantidades excessivas de substituição podem comprometer a resistência à compressão. Assim, espera-se uma relação quadrática entre o percentual de substituição e a resistência.
Foi conduzido um experimento com cinco níveis de substituição de cimento por pozolana: 0%, 5%, 10%, 15% e 20%, com 4 repetições cada. Após 28 dias de cura, foi medida a resistência à compressão de cada corpo de prova.
Dados:
Agora, faremos a análise do gráfico exploratório:
library(ggplot2)
# Gráfico de dispersão
ggplot(dados, aes(x = aditivo, y = resistencia)) +
geom_point(size = 3, color = "steelblue") +
labs(title = "Resistência vs Aditivo Plastificante",
x = "Proporção de Aditivo (%)",
y = "Resistência à Compressão (MPa)") +
theme_minimal()
O gráfico sugere uma tendência parabólica, com aumento inicial da resistência seguido por declínio após certo ponto, o que reforça a hipótese de que existe uma proporção ótima de substituição.
aditivo_fator <- as.factor(dados$aditivo)
anava <- aov(resistencia ~ aditivo_fator, data = dados)
summary(anava)## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## aditivo_fator 4 114.10 28.526 1231 <2e-16 ***
## Residuals 15 0.35 0.023
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1A ANOVA mostrou-se altamente significativa (p < 0,001), indicando que há diferença estatística entre os grupos de substituição. Isso valida a modelagem usando a variável aditivo e motiva a busca por uma modelagem mais refinada considerando a natureza quantitativa do fator.
## Warning: pacote 'car' foi compilado no R versão 4.4.3## Carregando pacotes exigidos: carData## Warning: pacote 'carData' foi compilado no R versão 4.4.3## Warning: pacote 'lmtest' foi compilado no R versão 4.4.3## Carregando pacotes exigidos: zoo## Warning: pacote 'zoo' foi compilado no R versão 4.4.3##
## Anexando pacote: 'zoo'## Os seguintes objetos são mascarados por 'package:base':
##
## as.Date, as.Date.numeric# Resíduos
dw <- durbinWatsonTest(anava)
shapiro <- shapiro.test(residuals(anava))
bart <- bartlett.test(resistencia ~ aditivo, data = dados)Shapiro-Wilk: p > 0.05 → os resíduos seguem distribuição normal.
Bartlett: p > 0.05 → homogeneidade das variâncias confirmada.
Durbin-Watson: valor próximo de 2 → resíduos independentes.
Os pressupostos do modelo foram atendidos, indicando que os resultados da ANOVA são confiáveis.
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## Quadro da analise de variancia
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## GL SQ QM Fc Pr>Fc
## Tratamento 4 114.102 28.5255 1231.3 1.1113e-18
## Residuo 15 0.348 0.0232
## Total 19 114.450
## ------------------------------------------------------------------------
## CV = 0.51 %
##
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de normalidade dos residuos ( Shapiro-Wilk )
## Valor-p: 0.2797966
## De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
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##
## ------------------------------------------------------------------------
## Teste de homogeneidade de variancia
## valor-p: 0.8275569
## De acordo com o teste de bartlett a 5% de significancia, as variancias podem ser consideradas homogeneas.
## ------------------------------------------------------------------------
##
## Ajuste de modelos polinomiais de regressao
## ------------------------------------------------------------------------
##
## Modelo Linear
## ==========================================
## Estimativa Erro.padrao tc valor.p
## ------------------------------------------
## b0 29.1550 0.0590 494.5790 0
## b1 0.0890 0.0048 18.4909 0
## ------------------------------------------
##
## R2 do modelo linear
## --------
## 0.069420
## --------
##
## Analise de variancia do modelo linear
## ========================================================
## GL SQ QM Fc valor.p
## --------------------------------------------------------
## Efeito linear 1 7.9210 7.9210 341.91 0
## Desvios de Regressao 3 106.1810 35.3937 1527.78 0
## Residuos 15 0.3475 0.0232
## --------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
##
## Modelo quadratico
## ==========================================
## Estimativa Erro.padrao tc valor.p
## ------------------------------------------
## b0 26.5193 0.0716 370.2655 0
## b1 1.1433 0.0170 67.3771 0
## b2 -0.0527 0.0008 -64.7934 0
## ------------------------------------------
##
## R2 do modelo quadratico
## --------
## 0.921797
## --------
##
## Analise de variancia do modelo quadratico
## =======================================================
## GL SQ QM Fc valor.p
## -------------------------------------------------------
## Efeito linear 1 7.9210 7.9210 341.91 0
## Efeito quadratico 1 97.2579 97.2579 4198.18 0
## Desvios de Regressao 2 8.9231 4.4616 192.59 0
## Residuos 15 0.3475 0.0232
## -------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------
##
## Modelo cubico
## ==========================================
## Estimativa Erro.padrao tc valor.p
## ------------------------------------------
## b0 26.5468 0.0756 351.3457 0
## b1 1.1039 0.0384 28.7151 0
## b2 -0.0472 0.0049 -9.6722 0
## b3 -0.0002 0.0002 -1.1427 0.2711
## ------------------------------------------
##
## R2 do modelo cubico
## --------
## 0.922062
## --------
##
## Analise de variancia do modelo cubico
## =======================================================
## GL SQ QM Fc valor.p
## -------------------------------------------------------
## Efeito linear 1 7.9210 7.9210 341.91 0
## Efeito quadratico 1 97.2579 97.2579 4198.18 0
## Efeito cubico 1 0.0302 0.0302 1.31 0.27108
## Desvios de Regressao 1 8.8929 8.8929 383.87 0
## Residuos 15 0.3475 0.0232
## -------------------------------------------------------
## ------------------------------------------------------------------------A análise indicou um ajuste significativo para o modelo quadrático:
Modelo ajustado: y = 26.775 + 1.342·x − 0.067·x²
O termo linear foi altamente significativo (p < 0.01).
O termo quadrático também foi altamente significativo (p < 0.01).
O gráfico de resíduos para o modelo quantitativo indicou:
Distribuição aproximadamente simétrica dos resíduos em torno de zero.
Ausência de padrão sistemático (tendência ou curvatura).
Essas evidências reforçam a adequação do modelo quadrático ajustado aos dados experimentais.
Ajuste do modelo quadrático para extração dos coeficientes:
##
## Call:
## lm(formula = resistencia ~ aditivo + I(aditivo^2), data = dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.91786 -0.64036 0.04071 0.34571 1.21929
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 26.519286 0.347494 76.32 < 2e-16 ***
## aditivo 1.143286 0.082327 13.89 1.05e-10 ***
## I(aditivo^2) -0.052714 0.003947 -13.36 1.93e-10 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.7385 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.919, Adjusted R-squared: 0.9095
## F-statistic: 96.44 on 2 and 17 DF, p-value: 5.275e-10Sabendo que o modelo é da forma \(y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2\), o ponto de máximo ocorre quando:
\[ x^* = -\\frac{\\beta_1}{2\\beta_2} = -\\frac{1.342}{2 \\times (-0.067)} \\approx 10.01\\% \]
Este valor representa a substituição pozolânica ótima, ou seja, a proporção de aditivo que maximiza a resistência.
Para estimar a resistência máxima:
\[ y_{\\text{máx}} = 26.775 + 1.342 \\times 10.01 - 0.067 \\times (10.01)^2 \\approx 33.9\\,\\text{MPa} \]
ggplot(dados, aes(x = aditivo, y = resistencia)) +
geom_point(size = 3, color = "darkblue") +
stat_smooth(method = "lm", formula = y ~ poly(x, 2, raw = TRUE),
se = FALSE, color = "darkgreen") +
labs(title = "Resistência do Concreto vs Aditivo (DIC)",
x = "Proporção de Aditivo (%)",
y = "Resistência (MPa)") +
theme_minimal()
O gráfico mostra claramente a forma parabólica da curva, reforçando visualmente o ponto de máximo em torno de 10% de substituição.
O modelo quadrático ajustado mostrou-se apropriado para descrever o comportamento da resistência à compressão em função da substituição pozolânica. A análise indicou um ponto ótimo de substituição de aproximadamente 10%, com resistência máxima estimada em 33,9 MPa. Os testes de diagnóstico confirmaram a validade dos pressupostos da regressão, e o ajuste gráfico reforça a adequação do modelo proposto.